Question

14．在復平面上，已知正方形OABC（按逆時針方向，O表示原點）中的一個頂點B對應的復數為1+2i，則$\overrightarrow{BC}$所對應的復數z=$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．

Answer 1

分析 由B對應的復數求出B的坐標，得到OB中點的坐標，設出C（x，y），求得$\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）$，結合$\overrightarrow{MC}⊥\overrightarrow{MB}$及|$\overrightarrow{MC}$|列方程組求得C的坐標，進一步得到$\overrightarrow{BC}$的坐標得答案．

解答 解：如圖，
∵B對應的復數為1+2i，
∴OB中點為M（$\frac{1}{2}，1$）
設C（x，y），則$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）$，
由$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）•（\frac{1}{2}，1）=0$，
得2x+4y-5=0，①
又$|\overrightarrow{MC}|=\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
得$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{5}{4}$，②
聯(lián)立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由圖結合已知可得，C的坐標為（$-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{BC}=（-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，
∴$\overrightarrow{BC}$所對應的復數z=$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．
故答案為：$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．

點評 本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查了平面向量的坐標運算，體現(xiàn)了數形結合的解題思想方法，是中檔題．