Question

6．當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z=$\frac{{2{m^2}-3m-2}}{m+5}+（{m^2}+3m-10）i$
（Ⅰ）是實(shí)數(shù)；
（Ⅱ）是虛數(shù)；
（Ⅲ）是純虛數(shù)．

Answer 1

分析 （1）復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則虛部為零，求得m的實(shí)數(shù)值；
（2）復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則虛部不為零，可求得m的實(shí)數(shù)值；
（3）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)部為零，虛部不為零，即可求得m的實(shí)數(shù)值．

解答 解：（1）z為實(shí)數(shù)，則虛部m²+3m-10=0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-10=0}\\{m+5≠0}\end{array}\right.$，
解得m=2，∴m=2時(shí)，z為實(shí)數(shù)．
（2）z為虛數(shù)，則虛部m²+3m-10≠0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-10≠0}\\{m+5≠0}\end{array}\right.$，
解得m≠2且m≠-5，
故當(dāng)m≠2且m≠-5時(shí)，z為虛數(shù)；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{{2m}^{2}-3m-2=0}\\{{m}^{2}+3m-10≠0}\\{m+5≠0}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，z為純虛數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是復(fù)數(shù)的基本概念，主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法．關(guān)鍵是理解復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則虛部為零；復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則虛部不為零；復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)部為零，虛部不為零．