Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且$\frac{1}{9}$≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及與之對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)，直接計算f（3）的值；
（2）設(shè)t=log₃x，把函數(shù)f（x）化為t的二次函數(shù)g（t），求g（t）在閉區(qū)間上的最值，再求出對應(yīng)的x值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且$\frac{1}{9}$≤x≤9；
∴f（3）=log₃（27）•log₃9=3×2=6；
（2）令t=log₃x，
函數(shù)f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）
=（log₃x+2）•（log₃x+1）
=${{（log}_{3}x）}^{2}$+3log₃x+2
=t²+3t+2，
又∵$\frac{1}{9}$≤x≤9，
∴-2≤log₃x≤2，
∴-2≤t≤2；
令g（t）=t²+3t+2=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，t∈[-2，2]；
當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時，g（t）_min=-$\frac{1}{4}$，
即log₃x=-$\frac{3}{2}$，∴x=${3}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴f（x）_min=-$\frac{1}{4}$，此時x=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$；
當(dāng)t=2時，g（t）_max=g（2）=12，
即log₃x=2，x=9，
∴f（x）_max=12，此時x=9．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了換元法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．