Question

17．如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD=2，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說(shuō)明理由；
（2）在（1）的條件下，求點(diǎn)A到平面DMF的距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF．連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，利用三角形中位線定理能夠證明AC∥平面DMF；
（2）用等體積法可得點(diǎn)A到平面DMF的距離．

解答 解：（1）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF．
證明如下：連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMF，又AC?平面DMF，
所以AC∥平面DMF．（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面DMF的距離為h，則
△MDF中，DM⊥MF，DM=$\sqrt{2}$，MF=$\sqrt{6}$
用等體積法可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}×\sqrt{6}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×2
所以h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以點(diǎn)A到平面DMF的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的確定及證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，正確運(yùn)用線面平行的判定，合理運(yùn)用等體積法，是解題的關(guān)鍵．