Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow$=（cosα，sinα），其中x，y，α∈R，若|$\overrightarrow{a}$|=9|$\overrightarrow$|且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≤λ²+1恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A． -2$\sqrt{2}$≤λ≤2$\sqrt{2}$
• B． λ≤-2$\sqrt{2}$或λ≥2$\sqrt{2}$
• C． λ≥2$\sqrt{2}$
• D． λ≤-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow$=（cosα，sinα），我們可以得到|$\overrightarrow$|=1，再由|$\overrightarrow{a}$|=9|$\overrightarrow$|可設(shè)$\overrightarrow{a}$=9（sinα，cosα），代入平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍，結(jié)合函數(shù)恒成立的條件，可以得到一個(gè)關(guān)于λ的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow$=（cosα，sinα），|$\overrightarrow{a}$|=9|$\overrightarrow$|，
∴設(shè)$\overrightarrow{a}$=9（sinθ，cosθ）
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=9sinθ•cosα+9cosθ•sinα=9sin（α+θ）∈[-9，9]
若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≤λ²+1恒成立，
則λ²≥8，
解得λ≥2$\sqrt{2}$或λ≤-2$\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)恒成立問題，其中利用函數(shù)恒成立的條件，結(jié)合已知條件，得到一個(gè)關(guān)于λ的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．