Question

9．在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C，b=4，a+c=8，求a，c的長．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{a+c}{sinA+sinC}$，結合已經條件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡整理，得8cos²C-2cosC-3=0，解出銳角C的余弦值為$\frac{3}{4}$．最后利用余弦定理建立關系式，結合a+c=8即可解出邊a、c的長．

解答 解：根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得$\frac{sinB}=\frac{a+c}{sinA+sinC}$，
∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，
∴$\frac{4}{sin（π-3C）}$=$\frac{8}{sin2C+sinC}$，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C，
∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1），
∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）]，
結合sinC＞0，化簡整理得：8cos²C-2cosC-3=0，
解之得cosC=$\frac{3}{4}$或cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵∠A＞∠B＞∠C，得C為銳角，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$不符合題意，舍去，
根據(jù)余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{4}^{2}-（8-a）^{2}}{2×a×4}$=$\frac{3}{4}$，解之得a=$\frac{24}{5}$，c=8-a=$\frac{16}{5}$，
綜上，a、c的長分別為$\frac{24}{5}$、$\frac{16}{5}$．

點評 本題給出△ABC的最大角等于最小角的2倍，最大邊與最小邊之和等于第三邊的2倍，求邊a、c的長．著重考查了三角恒等變換和利用正余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．