7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，若原點(diǎn)O到直線x+y-b=0的距離為$\sqrt{2}$，求橢圓的方程．

分析 利用橢圓的離心率，以及點(diǎn)到直線的距離，求出橢圓的幾何量，然后求出橢圓方程．

解答 解：由題意可知$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，原點(diǎn)O到直線x+y-b=0的距離為$\sqrt{2}$，可得$\frac{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
解得b=2，$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，解得a2=12．
所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查計(jì)算能力．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤2}\\{x+y≥0}\\{x≤4}\end{array}\right.$，則z=2x+3y的最大值為（　�。�
A．2B．5C．8D．10

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18．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），則f（x）是（　　）
A．奇函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)
C．偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)

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15．在（$\sqrt{x}$-1）4的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為6．

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2．如圖，已知F1、F2分別為橢圓 $\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，其離心率e=$\frac{1}{2}$．且a+c=3，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，過(guò)F2作直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與y軸交于點(diǎn)P（異于A、B、O點(diǎn)），直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$是否為定值，若是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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12．已知P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P到直線l1：4x-3y+6=0和l2：x+2=0的距離之和的最小值是（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為 $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于E，G兩點(diǎn)，且△EGF2的周長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；     
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)$|{\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}}|＜\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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16．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（　�。�
A．若m⊥α，α⊥β，則m∥βB．若m⊥n，n⊥β，則m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，m與n異面，則n與β相交D．若m⊥α，n⊥β，m與n異面，則α與β相交

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17．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是（　�。�
A．x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1B．$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1C．$\frac{{y}^{2}}{4}$-x2=1D．y2-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1

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