Question

10．如圖，以${{F}_1}（{-\sqrt{3}，0}）$、${{F}_2}（{\sqrt{3}，0}）$為焦點(diǎn)的橢圓C與以原點(diǎn)O為圓心，F(xiàn)₁F₂為直徑的圓在第一象限的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)圓與y軸正半軸交點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若△OAB面積的最小值為$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，試求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用圓的方程及已知條件求出橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，利用弦長(zhǎng)公式表示出|AB|，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出O到AB的距離，從而得到△OAB面積的表達(dá)式（用k表示），再解不等式即可得到直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知，圓的方程為x²+y²=3，則橢圓C與圓在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，①
又點(diǎn)（$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）在橢圓上，∴$\frac{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}{^{2}}$=1，②
聯(lián)立①②解得a=2，b=1，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由（1）知，圓x²+y²=3與y軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$），
由題意知直線(xiàn)l的斜率k不存在時(shí)，△OAB不存在；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)l的方程為y=kx+$\sqrt{3}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+$y²=1，得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx+8=0，
則△=（8$\sqrt{3}$k）²-4×8（1+4k²）＞0，即k²＞$\frac{1}{2}$，x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（-\frac{8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{8}{1+4{k}^{2}}]}$
=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-2）}}{1+4{k}^{2}}$，
又點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-2）}}{1+4{k}^{2}}$×$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}×\sqrt{2{k}^{2}-1}}{1+4{k}^{2}}$≥$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
解得1≤k²≤$\frac{13}{8}$，即-$\frac{\sqrt{26}}{4}$≤k≤-1或1≤k≤$\frac{\sqrt{26}}{4}$．
故所求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍為[-$\frac{\sqrt{26}}{4}$，-1]∪[1，$\frac{\sqrt{26}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系多涉及位置關(guān)系的判斷，直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)、三角形的面積、向量的數(shù)量積等有關(guān)最值或取值范圍的問(wèn)題．解析幾何中的探究性問(wèn)題以定點(diǎn)、定直線(xiàn)、定值的存在性問(wèn)題為主，多以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)、直線(xiàn)和圓相切以及有關(guān)圖形的面積等問(wèn)題為主，圓錐曲線(xiàn)和圓相結(jié)合、多種圓錐曲線(xiàn)相結(jié)合的問(wèn)題，尤其是橢圓、拋物線(xiàn)與圓相結(jié)合將會(huì)成為今后高考命題的趨勢(shì)．