Question

15．求函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值以及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 首先對函數(shù)變形為ax+$\frac{x}$（a＞0，b＞0）的形式，根據(jù)基本不等式得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，
因t=$\sqrt{{x}^{2}+2}≥$2，所以函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$為f（t）=t+$\frac{1}{t}$在t≥2為增函數(shù)，所以f（t）≥$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
此時t=2即x=0．

點評 本題變形后容易利用基本不等式求最小值，而忽略基本不等式成立的三個條件；即本題利用基本不等式求最小值時，等號不成立．