Question

11．利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f（x）=x³在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f（x）=x³在x=x₀處切線與曲線f（x）=x³的交點．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對應(yīng)切線的斜率和方程，解方程組即可得到交點．

解答 解：設(shè)函數(shù)f（x）在（x₀，x₀+△x）上的平均變化率為$\frac{△y}{△x}$=$\frac{（{x}_{0}+△x）^{3}-{{x}_{0}}^{3}}{△x}$=3x₀²+3x₀•△x+（△x）²，
∴f′（x₀）=$\underset{lim}{△x→0}$（3x₀²+3x₀•△x+（△x）²）=3x₀²．
曲線f（x）=x³在x=x₀處切線斜率為k=3x₀²．
則曲線f（x）=x³在x=x₀處切線方程為y-x₀³=3x₀²（x-x₀），
聯(lián)立y=x³，解方程可得x=x₀，x=-2x₀．
即有交點為（x₀，x₀³），（-2x₀，-8x₀³）．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)和瞬時變化率之間的關(guān)系求導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．