Question

4．f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{2a+1}{2}{x}^{2}$+2x+1．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）x＞0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，a=$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）由（1），求出x＞0的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{2a+1}{2}{x}^{2}$+2x+1的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=ax²-（2a+1）x+2=（x-2）（ax-1），
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=2-x，f′（x）＞0解得x＜2，f′（x）＜0解得x＞2，
即有f（x）的增區(qū)間為（-∞，2），減區(qū)間為（2，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，2＞$\frac{1}{a}$，f′（x）＞0解得$\frac{1}{a}$＜x＜2，f′（x）＜0解得x＞2或x＜$\frac{1}{a}$，
即有f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2），減區(qū)間為（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)a＞0時(shí)，①a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）≥0，f（x）的增區(qū)間為R；
②a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，2＞$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0解得$\frac{1}{a}$＜x＜2，f′（x）＞0解得x＞2或x＜$\frac{1}{a}$，
即有f（x）的減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2），增區(qū)間為（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
③0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，2＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0解得2＜x＜$\frac{1}{a}$＜，f′（x）＞0解得x＜2或x＞$\frac{1}{a}$，
即有f（x）的減區(qū)間為（2，$\frac{1}{a}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，2）．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，2），減區(qū)間為（2，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2），減區(qū)間為（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的增區(qū)間為R；a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2），增區(qū)間為（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（2，$\frac{1}{a}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，2）．
（2）x＞0時(shí)，由（1）可得，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，2），減區(qū)間為（2，+∞）；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2），增區(qū)間為（2，+∞），（0，$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（2，$\frac{1}{a}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，注意運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．