Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax．
（1）求f（x）的單調(diào)性．
（2）若x=1是f（x）的極值點，求直線y=-1與曲線y=f（x）的交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后求導數(shù)，解不等式即可；
（2）根據(jù)x=1是極值點，可求出a的值，然后研究函數(shù)的極值，最值情況，然后即可判斷它們的交點個數(shù)．

解答 解：（1）因為f′（x）=$\frac{1}{x}+a=\frac{ax+1}{x}$，x＞0．
當a=0時，$f′（x）=\frac{1}{x}＞0$．（x＞0），故此時函數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)．
當a≠0時，令f′（x）=0得x=$-\frac{1}{a}$．
a＞0時，由f′（x）＞0結(jié)合函數(shù)的定義域得x＞0，故此時函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
a＜0時，由f′（x）＞0得0$＜x＜-\frac{1}{a}$，由f′（x）＜0得x$＞-\frac{1}{a}$．
故函數(shù)f（x）在（0，$-\frac{1}{a}$）上遞增，在[-$\frac{1}{a}，+∞$）上遞減．
（2）由x=1是極值點得f′（1）=0，所以a+1=0，得a=-1．
所以f（x）=lnx-x，（x＞0）．
令f$′（x）=\frac{1-x}{x}$=0得x=1．由f′（x）＜0得x＞1，f′（x）＞0得0＜x＜1．
所以f（x）在（0，1）上遞增，在[1，+∞）上遞減．
所以f（x）_極大值=f（1）=-1．且當x→0時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→-∞．
而y=-2＜-1，所以直線y=-2與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同的交點．

點評 本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點的方法，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．