Question

14．已知A、B、C為直線l上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O∉直線l，實(shí)數(shù)x滿足關(guān)系式x²$\overrightarrow{OA}+2x\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，有下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（　　）
①${\overrightarrow{OB}^2}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$≥0；   
②${\overrightarrow{OB}^2}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$＜0；
③x的值有且只有一個(gè)；   
④x的值有兩個(gè)；
⑤點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由存在實(shí)數(shù)x滿足x²$\overrightarrow{OA}+2x\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，△≥0，得出①正確、②錯(cuò)誤；
由x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得出$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，根據(jù)平面向量的基本定理，得出-x²-2x=1，判斷③正確、④錯(cuò)誤；
由$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），得出B是線段AC的中點(diǎn)，判斷⑤正確．

解答 解：對(duì)于①，存在實(shí)數(shù)x滿足x²$\overrightarrow{OA}+2x\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$≥0，∴①正確，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，變形為$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，
∵A、B、C為直線l上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O∉直線l，
∴-x²-2x=1，解得x=-1，∴③正確；
對(duì)于④，由③知，④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，由③知，$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），∴點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，⑤正確；
綜上，正確的命題是①③⑤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了一元二次方程有實(shí)數(shù)根的應(yīng)用問題，是綜合性題目．