Question

13．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，D為棱A₁B₁上的動(dòng)點(diǎn)，E為AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB．
（1）設(shè)$\frac{{{A_1}D}}{{D{B_1}}}$=λ，當(dāng)λ為何值時(shí)，EF∥平面BC₁D；
（2）在（1）條件下，求二面角E-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通過證明EF∥BD，然后通過EF∥平面BC₁D，求出λ；
（2）取AB中點(diǎn)M，以M為原點(diǎn)，以CM方向?yàn)閤軸，以AB方向?yàn)閥軸，以MD方向?yàn)閦軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．求出平面EBC₁的法向量，平面DBC₁的法向量，然后利用向量的數(shù)量積求解二面角E-BC₁-D的余弦值．

解答 解：（1）證明：$\left.\begin{array}{l}EF∥平面B{C_1}D\\ EF?平面AB{B_1}{A_1}\\ 平面B{C_1}D∩平面AB{B_1}{A_1}=BD\end{array}\right\}⇒EF∥BD$，
則$\frac{{D{B_1}}}{{B{B_1}}}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{2}$，即$λ=\frac{{{A_1}D}}{{D{B_1}}}=1$．（6分）
（2）取AB中點(diǎn)M，可知CM⊥AB，DM⊥平面ABC．
以M為原點(diǎn)，以CM方向?yàn)閤軸，以AB方向?yàn)閥軸，以MD方向?yàn)閦軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．E（0，-1，1），B（0，1，0），D（0，0，2），${C_1}（-\sqrt{3}，0，2）$
平面EBC₁中，$\overrightarrow{EB}=（0，2，-1）$，$\overrightarrow{E{C_1}}=（-\sqrt{3}，1，1）$，$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，1，2）$
平面DBC₁中，$\overrightarrow{DB}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{D{C_1}}=（-\sqrt{3}，0，0）$，$\overrightarrow{n_2}=（0，2，1）$$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{4}{{\sqrt{8}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
即二面角E-BC₁-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面的平行關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求．