Question

4．已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱與底面所成的角為45°，求相鄰兩側(cè)面所成角的余弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，找出側(cè)棱與底面所成的角以及相鄰兩側(cè)面所成的二面角的平面角，
利用三角形中的邊角關(guān)系以及余弦定理，求出這個(gè)二面角的平面角的余弦值．

解答 解：正三棱錐P-ABC的側(cè)棱與底面所成的角為45°，如圖所示；
作PO⊥平面ABC，垂足為O，
連接AO并延長，交BC于點(diǎn)N，則AN⊥BC，∠PAO=45°；
過點(diǎn)B作BM⊥PA，垂足為M，連接CM，
則CM⊥PA，且CM=BM；
∴∠BMC是二面角B-PA-C的平面角；
設(shè)AB=a，PA=b，AM=x，則PM=b-x；
在△ABC中，AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，∴AO=$\frac{2}{3}$AN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
在Rt△PAO中，PO=AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴PA=$\sqrt{2}$PO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=b；
在△PAB中，BM⊥PA，
∴BM²=AB²-AM²=PB²-PM²，
即a²-x²=b²-（b-x）²，
∴x=$\frac{{a}^{2}}{2b}$，
∴BM²=a²-x²=a²-$\frac{{a}^{4}}{{4b}^{2}}$=a²-$\frac{{a}^{4}}{4{×（\frac{\sqrt{6}}{3}a）}^{2}}$=$\frac{5}{8}$a²；
在△BCM中，cos∠BMC=$\frac{{BM}^{2}{+CM}^{2}{-BC}^{2}}{2•BM•CM}$=$\frac{2×{\frac{5}{8}a}^{2}{-a}^{2}}{2×{\frac{5}{8}a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴該三棱錐相鄰兩側(cè)面所成角的余弦值是$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的垂直關(guān)系以及三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了余弦定理的應(yīng)用問題，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，是綜合性題目．