Question

5．如圖，四邊形ABCD是菱形，DE⊥DC，平面DEC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AF∥DE，AF=$\frac{1}{3}$DE，點(diǎn)M在線段BD上，且DM=$\frac{2}{3}$BD，求證：AM∥平面BEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由空間中的垂直關(guān)系以及菱形的對(duì)角線互相垂直，證出AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）證法一，延長EF，DA，交于點(diǎn)G，證明AM∥GB即可；
證法二，在△EDB中，過點(diǎn)M作MN∥DE，MN∩BE=N，連接FN，證明四邊形AMNF為平行四邊形，得AM∥FN即可．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍰EC⊥平面ABCD，
DE⊥DC，平面DEC∩平面ABCD=DC，
DE?平面DEC，
所以DE⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，
所以DE⊥AC，
因?yàn)锳BCD是菱形，
所以AC⊥BD，
又BD∩DE=D，
BD、DE?平面BDE，
∴AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）如圖所示，
證法一，延長EF，DA，交于點(diǎn)G，
因?yàn)锳F∥DE，AF=$\frac{1}{3}$DE，
所以$\frac{GA}{GD}$=$\frac{AF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
因?yàn)镈M=$\frac{2}{3}$BD，所以BM=$\frac{1}{3}$BD，
因此$\frac{BM}{BD}$=$\frac{1}{3}$，所以$\frac{BM}{BD}$=$\frac{GA}{GD}$=$\frac{1}{3}$，
所以AM∥GB，
又AM?平面BEF，GB?平面PEF，
所以AM∥平面PEF．
證法二，在△EDB中，過點(diǎn)M作MN∥DE，MN∩BE=N，
連接FN，
因?yàn)锳F∥DE，
所以MN∥AF，
因?yàn)镈M=$\frac{2}{3}$BD，所以BM=$\frac{1}{3}$BD，
$\frac{MN}{DE}$=$\frac{BM}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
又$\frac{AF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
所以MN=AF，
所以四邊形AMNF為平行四邊形，
所以AM∥FN，
因?yàn)锳M?平面BEF，
所以AM∥平面BEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．