Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（1）求a₂；
（2）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1代入計算即可得到；
（2）由數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}{S}_{n}}$=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，再由裂項相消求和，化簡即可得到．

解答 解：（1）a₁=2，a_n+1=2S_n+2，
可得a₂=2S₁+2=2×2+2=6；
（2）a_n+1=2S_n+2，
當(dāng)n≥2時，a_n=2S_n-1+2，
可得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即為a_n+1=3a_n，
則a_n=a₂•3^n-2=2•3^n-1，
對n=1成立，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2•3^n-1；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}{S}_{n}}$=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$
=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，
則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{3-1}$-$\frac{1}{9-1}$+$\frac{1}{9-1}$-$\frac{1}{27-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項和求和之間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．