Question

2．如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且OA=2，B為半圓上任一點(diǎn)，以AB為邊向右上方作等邊△ABC．
（1）若∠AOB=θ（單位：rad），分別求出三角形ABC和三角形OAB的面積；
（2）求三角形ABC和三角形OAB的面積之比的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，求出AB的長(zhǎng)，代入等邊三角形面積公式，可得三角形ABC的面積，根據(jù)三角形OAB的面積為：$\frac{1}{2}OA•OB•sin∠AOB$可得三角形OAB的面積；
（2）由（1）得到三角形ABC和三角形OAB的面積之比，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得其最小值．

解答 解：（1）∵半圓O的直徑為2，OA=2，∠AOB=θ，
∴OB=1，
AB=$\sqrt{{OA}^{2}+{OB}^{2}-2OA•OB•cos∠AOB}$=$\sqrt{5-cosθ}$，
則三角形ABC的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-cosθ）$
故三角形OAB的面積為：$\frac{1}{2}OA•OB•sin∠AOB$=sinθ；
（2）由（1）得：三角形ABC和三角形OAB的面積之比k=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}（5-cosθ）}{sinθ}$，
則k′=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}（1-5cosθ）}{si{n}^{2}θ}$，
故當(dāng)cosθ=$\frac{1}{5}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$時(shí)，
k取最小值$\frac{3}{2}\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的面積公式，三角函數(shù)的最小值，難度中檔．