Question

19．已知f（x）=$\frac{x-a}{x^2+bx+1}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)由f（-x）=-f（x），解方程即可求a，b的值；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并加以證明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x-a}{x^2+bx+1}$是奇函數(shù)．
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x-a}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x-a}{x^2+bx+1}$．
整理得（a+b）x²+a=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=b=0；
（2）∵a=b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
 可知：f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）＜0，解得x的取值范圍是（-∞，-1）、（1，+∞）此時函數(shù)遞減，
令f′（x）＞0，解得x的取值范圍是（-1，1）此時函數(shù)遞增，
故函數(shù)在（-∞，-1]、[1，+∞）上分別遞減；（-1，1）上遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用定義法和導數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．