Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$
（1）解不等式f（x）≤$\frac{1}{3}$；
（2）當(dāng)x＞0時，若f（x）≤a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由分式不等式的解法，等價轉(zhuǎn)化為解二次不等式，即可得到解集；
（2）由題意可得f（x）_max≤a在x＞0恒成立，將f（x）的分子分母同除以x，再由基本不等式可得最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）≤$\frac{1}{3}$，即為$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$≤$\frac{1}{3}$，
即有$\frac{（x-1）（x-4）}{3（{x}^{2}-2x+4）}$≥0，由x2-2x+4=（x-1）2+3＞0恒成立，
則有（x-1）（x-4）≥0，解得x≥4或x≤1．
則解集為（-∞，1]∪（4，+∞）；
（2）當(dāng)x＞0時，若f（x）≤a恒成立，
即為f（x）_max≤a在x＞0恒成立，
由f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}-2}$，
x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，取得等號．
即有x=2時，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$．
則有a≥$\frac{1}{2}$．
即a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查分式不等式的解法，函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，同時考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．