Question

13．設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}$b=2csinB．
（1）求∠C的大小；
（2）若a=5，b=8，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0求出sinC的值，由C為銳角求出C的度數(shù)即可；
（2）由（1）及余弦定理可求c的值，從而根據(jù)余弦定理可求cosB，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解．

解答 解：（1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，及$\sqrt{3}$b=2csinB，
得：$\sqrt{3}$sinB=2sinCsinB，
∵sinB≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C為銳角，
∴C=60°；
（2）∵由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=25+64-2×5×8×cos60°=49，可得：c=7．
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{25+49-64}{2×5×7}$=$\frac{1}{7}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=7×$5×\frac{1}{7}$=5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．