Question

4．函數(shù)y=f（x）=$\sqrt{x}$，x∈（0，1），f（x）圖象在點(diǎn)M（a，$\sqrt{a}$）處的切線為l，l分別與y軸、直線y=1交于P、Q兩點(diǎn)，N（0，1）．
（1）用a表示△PQN的面積S；
（2）若△PQN的面積為r的點(diǎn)M恰有2個(gè)，求r及點(diǎn)M橫坐標(biāo)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，求得切線方程，再求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△PQN的面積；
（2）令$\sqrt{a}$=t（t∈（0，1）），即有S=g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），0＜t＜1，求得導(dǎo)數(shù)，和單調(diào)區(qū)間，求得最大值，即可得到r和a的范圍．

解答 解：（1）由y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，切點(diǎn)M（a，$\sqrt{a}$），
在點(diǎn)M（a，$\sqrt{a}$）處的切線斜率為k=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
切線方程l：y=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$x+$\frac{1}{2}\sqrt{a}$，
即有P（0，$\frac{\sqrt{a}}{2}$），Q（2$\sqrt{a}$-a，1），
則S=$\frac{1}{2}$||NP|•|NQ|
=$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{a}$）（2$\sqrt{a}$-a），a∈（0，1）；
（2）由S=$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{a}$）（2$\sqrt{a}$-a），
令$\sqrt{a}$=t（t∈（0，1）），
即有S=g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），S′=$\frac{1}{4}$（3t-2）（t-2）
即有t∈（0，$\frac{2}{3}$）時(shí)，S′＞0，g（t）單調(diào)遞增，t∈（$\frac{2}{3}$，1），S′＜0，g（t）單調(diào)遞減，
則S在t=$\frac{2}{3}$時(shí)，取最大值S（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{27}$，
又S（1）=$\frac{1}{4}$，S（0）=0，
當(dāng)r∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{8}{27}$）時(shí)，△PQN的面積為r的點(diǎn)M恰有2個(gè)，
當(dāng)$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t）=$\frac{1}{4}$時(shí)，t₁=1，t₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，t₃=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$＞1舍去．
則有點(diǎn)M橫坐標(biāo)a的范圍是（$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：求切線方程；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（t），通過(guò)研究該函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．