Question

將正奇數(shù)組成的數(shù)列{a_n}的項(xiàng)：1，3，5，7，9，11，…，按下表排成5列：

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第一行		1	3	5	7
第二行	15	13	11	9
第三行		17	19	21	23
第四行	…	…	27	25

（Ⅰ）求第五行到第十行的所有數(shù)的和；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…，A_n（a_n，b_n）在指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖象上，如圖，過A₁，A₂，…，A_n分別作x軸、y軸的垂線，與x軸、y軸分別相交于B₁，B₂，…，B_n；C₁，C₂，…，C_n，矩形OB₁A₁C₁，OB₂A₂C₂，…，OB_nA_nC_n的分別面積為S₁，S₂，…，S_n，求S₁+S₂+…+S_n的值T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）正奇數(shù)組成的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，由題意可得，第五行的第一個數(shù)為a₁₇=1+16×2=33，第五行到第十行的所有數(shù)共有24個，再利用等差數(shù)列的求和公式求得第五行到第十行的所有數(shù)的和．
（Ⅱ）由A_n（a_n，b_n）在指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖象上，可得 b_n=2an=2^2n-1，求得 S₁、S₂、，…，S_n，可得T_n=1×2+3×2³+5×2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1，再利用錯位相減求得T_n的值．

解答： 解：（Ⅰ）正奇數(shù)組成的數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，且公差為2的等差數(shù)列，故有a_n=2n-1，
由題意可得，第五行的第一個數(shù)為a₁₇=1+16×2=33，第五行到第十行的所有數(shù)共有24個，
故第五行到第十行的所有數(shù)的和為24×33+

24×23

2

×2=1344．
（Ⅱ）∵A_n（a_n，b_n）在指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖象上，∴b_n=2an=2^2n-1，
∴S₁=a₁•b₁=1×2=2，S₂=a₂•b₂=3×8=24，…，S_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^2n-1．
∴T_n=1×2+3×2³+5×2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1  ①，
∴4T_n=1×2³+3×2⁵+5×2⁷+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹ ②，
①-②可得-3T_n=2+2（2³+2⁵+2⁷+…+2^2n-1）-（2n-1）2²ⁿ⁺¹=2（2+2³+2⁵+2⁷+…+2^2n-1）-2-（2n-1）2²ⁿ⁺¹ 
=2×

2×(1-4n)

1-4

-2-（2n-1）2²ⁿ⁺¹=（

10

3

-4n）•4ⁿ-

10

3

，
∴T_n=（

4n

3

-

10

9

）•4ⁿ+

10

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．