Question

13．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$（a∈R）是奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=$\frac{mx}{1+x}$的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=$\frac{mx}{1+x}$在（-1，+∞）上遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷m的范圍即可；（3）根據(jù)根域系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)討論△的符號(hào)，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{-x+a}{{{x^2}+1}}=-\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$得a=0；
（2）∵$g（x）=\frac{mx}{1+x}$在（-1，+∞）上遞減，
∴任給實(shí)數(shù)x₁，x₂，當(dāng)-1＜x₁＜x₂時(shí)，g（x₁）＞g（x₂），
∴$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{m{x_1}}}{{1+{x_1}}}-\frac{{m{x_2}}}{{1+{x_2}}}=\frac{{m（{x_1}-{x_2}）}}{{（1+{x_1}）（1+{x_2}）}}＞0$，
∴m＜0；
（3）由（1）得$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，
令h（x）=0，即$\frac{x}{{{x^2}+1}}+\frac{mx}{1+x}=0$，
化簡(jiǎn)得x（mx²+x+m+1）=0，
∴x=0或 mx²+x+m+1=0，
若0是方程mx²+x+m+1=0的根，則m=-1，
此時(shí)方程mx²+x+m+1=0的另一根為1，不符合題意，
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)于方程mx²+x+m+1=0（※）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個(gè)非零的實(shí)根，
①當(dāng)△=1²-4m（m+1）=0時(shí)，得$m=\frac{{-1±\sqrt{2}}}{2}$，
若$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，則方程（※）的根為$x=-\frac{1}{2m}=-\frac{1}{{-1-\sqrt{2}}}=\sqrt{2}-1∈（{-1，\;1}）$，符合題意；
若$m=\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$，則與（2）條件下m＜0矛盾，不符合題意，
∴$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
②當(dāng)△＞0時(shí)，令h（x）=mx²+x+m+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）•h（1）＜0}\\{h（0）≠0}\end{array}\right.$，得-1＜m＜0，
綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{-1，\;0}）∪\left\{{\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題、奇偶性問(wèn)題，是一道中檔題．