Question

2．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）用五點法作出f（x）在一個周期內(nèi)的簡圖；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后再向上平移1個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[0，2π]內(nèi)所有零點的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），用列表描點連線即可作出f（x）在一個周期內(nèi)的簡圖；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=2cos2x+1，令2cos2x+1=0可解得x的值，結(jié)合范圍x∈[0，2π]求出各個零點，從而可求g（x）在[0，2π]內(nèi)所有零點的和．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）y=f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）…2分
列表如下：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{2π}{12}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{8π}{12}$	$\frac{11π}{12}$
y	0	2	0	-2	0

∴f（x）的圖象如圖所示：
…6分
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后再向上平移1個單位，得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1=2cos2x+1…8分
令2cos2x+1=0可得2x=$\frac{2π}{3}+2kπ$或2x=$\frac{4π}{3}+2kπ$，k∈Z
所以解得：x=$\frac{π}{3}+kπ$，或x=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z
又x∈[0，2π]
故x=$\frac{π}{3}$或x=$\frac{2π}{3}$或x=$\frac{4π}{3}$或x=$\frac{5π}{3}$，
∴函數(shù)g（x）在[0，2π]內(nèi)所有零點的和為4π…12分

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，屬于基本知識的考查．