Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=2+2sinβ}\end{array}\right.$（β為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求C₁和C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）已知射線l₁：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），將l₁逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$得到l₂：θ=α+$\frac{π}{6}$，且l₁與C₁交于O，P兩點(diǎn)，l₂與C₂交于O，Q兩點(diǎn)，求|OP|•|OQ|取最大值時點(diǎn)P的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后利用極坐標(biāo)方程和普通方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；
（2）設(shè)極坐標(biāo)方程，結(jié)合三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4，所以C₁極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，
曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4，所以C₂極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ       
（2）設(shè)點(diǎn)P極點(diǎn)坐標(biāo)（ρ₁，α），即ρ₁=4cosα，
點(diǎn)Q極坐標(biāo)為（ρ₂，α+$\frac{π}{6}$），即ρ₂=4sin（α+$\frac{π}{6}$），
則|OP||OQ|=ρ₁ρ₂=4cosα•4sin（α+$\frac{π}{6}$）=16cosα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）=8sin（2α+$\frac{π}{6}$）+4  
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
當(dāng)2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$時，
|OP|•|OQ|取最大值，此時P極點(diǎn)坐標(biāo)（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程是解決參數(shù)方程的基本方法．