Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=${a_n}{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{a_n}$，試求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）先由數(shù)列遞推式求得首項，再取n=n-1得另一遞推式，兩式作差可得{a_n}是首項和公比都為2的等比數(shù)列，則其通項公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=${a_n}{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{a_n}$，整理后利用錯位相減法求{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）當n=1時，由S_n=2a_n-2，及a₁=S₁ 可得a₁=2，
由S_n=2a_n-2①，可得S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
由①-②得：a_n=2a_n-1（n≥2）．
故{a_n}是首項和公比都為2的等比數(shù)列，通項公式為${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）由（1）可得：b_n=${a_n}{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{a_n}$=${2}^{n}•lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{{2}^{n}}=n•{2}^{n}$．
則${T}_{n}=1×2+2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+n×{2}^{n}$．
$2{T}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{3}$+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹．
兩式相減可得：$-{T}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n×{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n+1}=（1-n）•{2}^{n+1}-2$．
∴${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項公式，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．