Question

如圖，雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C₂的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為F₂，過F₁的直線與拋物線C₂的一個(gè)交點(diǎn)為A，與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)M，若線段F₁A的中點(diǎn)恰為M，則雙曲線C₁的離心率為（　　）

• A、

  1+ 5

  2

• B、

  1+ 3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  3+ 5

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：連接OM，AF₂，過A作AN⊥x軸，垂足為N，求出拋物線方程和準(zhǔn)線方程，由直線和圓相切的條件可得|OM|=a，
再由中位線定理可得|AF₂|=2a，結(jié)合拋物線的定義可得A的坐標(biāo)，過A作AH⊥l，垂足為H，求出|HF₁|，即可得到4b²-4a²=4c（2a-c），再由a，b，c的關(guān)系及離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：連接OM，AF₂，過A作AN⊥x軸，垂足為N，
由于F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則拋物線的方程為y²=4cx，準(zhǔn)線方程為x=-c，
作出準(zhǔn)線l，過A作AH⊥l，垂足為H，
則有|AN|=|HF₁|，
由直線AF₁與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)M，則|OM|=a，
由OM為三角形AF₁F₂的中位線，可得|AF₂|=2|OM|=2a，
由拋物線的定義可得|AF₂|=|AH|=x_A+c，即x_A=2a-c，
即有y_A=

4c(2a-c)

，
又|MF|=

c2-a2

=b，則|AF₁|=2b，
在直角△HAF₁中，|HF₁|=

|AF1|2-|AH|2

=

4b2-4a2

，
即有4b²-4a²=4c（2a-c），
即c²-a²-a²=2ac-c²，
即有c²-a²-ac=0，
由e=

c

a

，即有e²-e-1=0，
由于e＞1，解得e=

1+ 5

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件，運(yùn)用三角形的中位線定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．