Question

3．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a_n-1b_n，b_n=$\frac{_{n-1}}{1-{{a}_{n-1}}^{2}}$．
（1）證明：對(duì)任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）通過（1）及a_n+1=a_nb_n+1、b_n=$\frac{_{n-1}}{1-{{a}_{n-1}}^{2}}$化簡、整理可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 證明：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁+b₁=a+（1-a）=1，命題成立；
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時(shí)命題成立，即a_k+b_k=1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1
=（a_k+1）•b_k+1
=（a_k+1）•$\frac{_{k}}{1-{{a}_{k}}^{2}}$
=$\frac{_{k}}{1-{a}_{k}}$
=$\frac{_{k}}{_{k}}$
=1，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
綜上所述，a_n+b_n=1對(duì)n∈N^*恒成立；
（2）解：∵a_n+1=a_nb_n+1=$\frac{{a}_{n}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}（1-{a}_{n}）}{1-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+（n-1）×1，
從而數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{a}{1+（n-1）•a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．