Question

12．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+ρsinθ-6=0，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$，
（1）求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)；
（2）已知點(diǎn)P（0，-2），過(guò)P的直線l'與圓所相交于A、B不同的兩點(diǎn)，求$|{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}|$．

Answer 1

分析 （1）首先將圓的方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線的距離，最后利用弦長(zhǎng)公式求解弦長(zhǎng)即可；
（2）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理和直線參數(shù)的幾何意義即可求得最終結(jié)果．

解答 解：（1）將圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系方程：x²+y²-2y-4=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x²+（y-1）²=5，直線l：3x+y-6=0．
由x²+（y-1）²=5，所以圓心C（0，1），半徑$r=\sqrt{5}$；
所以圓心C到直線l：3x+y-6=0的距離是$d=\frac{{|{3×0+1×1-6}|}}{{\sqrt{{3^2}+{1^2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$；
直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{{{（{\sqrt{5}}）}^2}-{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}}）}^2}}=\sqrt{10}$．
（2）設(shè)直線l'的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ•t\\ y=-2+sinθ•t\end{array}\right.$，將其帶入圓的方程x²+（y-1）²=5，
可得：（cosθ•t）²+（-2+sinθ•t-1）²=5，
化簡(jiǎn)得：t²-6sinθ•t+4=0，
所以t₁+t₂=6sinθ，t₁•t₂=4，
所以$|{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}|=|{{t_1}•{t_2}}|=4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的參數(shù)方程的幾何意義，圓的弦長(zhǎng)公式等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．