Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線都與圓（x-c）²+y²=ac（c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$相切，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的漸近線與（x-c）²+y²=ac相切，可得圓心（c，0）到漸近線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：取雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0．
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的漸近線與（x-c）²+y²=ac相切，
∴圓心（c，0）到漸近線的距離d=r，
∴$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{ac}$，化為b²=ac，
兩邊平方得ac=c²-a²，化為e²-e-1=0．
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的漸近線及其離心率、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)扥個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．