Question

9．設(shè)點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=x²+1（x≥0）上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)y=$\sqrt{x-1}$（x≥1）上，則|PQ|的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 曲線(xiàn)y=$\sqrt{x-1}$的圖象在第一象限，要使曲線(xiàn)y=x²+1上的點(diǎn)與曲線(xiàn)y=$\sqrt{x-1}$上的點(diǎn)取得最小值，點(diǎn)P應(yīng)在曲線(xiàn)y=x²+1的第一象限內(nèi)的圖象上，分析可知y=x²+1（x≥0）與y=$\sqrt{x-1}$互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，所以，求出y=$\sqrt{x-1}$上點(diǎn)Q到直線(xiàn)y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．

解答 解：由y=x²+1，得：x²=y-1，x=$±\sqrt{y-1}$．
所以，y=x²+1（x≥0）與y=$\sqrt{x-1}$互為反函數(shù)．
它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)．
P在曲線(xiàn)y=x²+1上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)y=$\sqrt{x-1}$上，
設(shè)P（x，1+x²），Q（x，$\sqrt{x-1}$）
要使|PQ|的距離最小，則P應(yīng)在y=x²+1（x≥0）上，
又P，Q的距離為P或Q中一個(gè)點(diǎn)到y(tǒng)=x的最短距離的兩倍．
以Q點(diǎn)為例，Q點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的最短距離
d=$\frac{|x-\sqrt{x-1}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\sqrt{x-1}）^{2}+1-\sqrt{x-1}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}}$．
所以當(dāng)$\sqrt{x-1}$=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{5}{4}$時(shí)，d取得最小值$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
則|PQ|的最小值等于2×$\frac{3\sqrt{2}}{8}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反函數(shù)，考查了互為反函數(shù)圖象之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是把求兩曲線(xiàn)上點(diǎn)的最小距離問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求一支曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的最小距離問(wèn)題，此題是中檔題．