Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+3|x-a|（a＞0，記f（x）在[-1，1]上的最小值為g（a）．
（Ⅰ）求g（a）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若對(duì)x∈[-1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用分段的形式寫(xiě)出f（x），討論①0＜a≤1時(shí)，②a＞1時(shí)，根據(jù)單調(diào)性，可得最小值g（a）；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（a），討論①0＜a≤1時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，求得h（x）的最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a，x＜a}\\{{x}^{2}+3x-3a，x≥a}\end{array}\right.$，
∵a＞0，-1≤x≤1，
①0＜a≤1時(shí)，f（x）在[-1，a]上遞減，在[a，1]上遞增，則g（a）=f（a）=a²；
②a＞1時(shí)，f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$]遞減，則g（a）=f（1）=3a-2．
則有g(shù)（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，0＜a≤1}\\{3a-2，a＞1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（a），
①0＜a≤1時(shí)，g（a）=a²，
當(dāng)-1≤x≤a，h（x）=x²-3x+3a-a²在[-1，a]遞減，
h（x）≤h（-1）=4+3a-a²≤6，
當(dāng)a≤a≤1，h（x）=x²+3x-3a-a²在[a，1]上遞增，
h（x）≤h（1）=4-3a-a²＜4，
②當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=3a-2，h（x）=x²-3x+2≤h（-1）=6，
綜上可得，h（x）=f（x）-g（a）在a＞0，-1≤x≤1上 的最大值為6．
即有h（x）≤m恒成立，即m≥6．
則m的取值范圍是[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查二次函數(shù)的最值的求法，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．