Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A，B為橢圓C的長軸上的兩端點(diǎn)，曲線C上動點(diǎn)P（異于A，B）的點(diǎn)，求K_AP•K_BP的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率求得a=2b，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）根據(jù)斜率公式，求得k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，由y²=4（$\frac{16-{x}^{2}}{16}$），即可取得k_AP•k_BP=-$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2b，
將（1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{1}{4^{2}}+\frac{15}{4^{2}}=1$，解得：b²=4，則a²=16，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)動點(diǎn)P（x，y），A（-4，0），則k_AP=$\frac{y}{x+4}$，k_BP=$\frac{y}{x-4}$，
∴k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，
由點(diǎn)P在橢圓上，則y²=4（$\frac{16-{x}^{2}}{16}$），
即k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$=$\frac{1}{{x}^{2}-16}$•4•$\frac{16-{x}^{2}}{16}$=-$\frac{1}{4}$，
∴k_AP•k_BP=-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．