Question

已知圓C與x軸交于A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)M（0，3）．
（1）求△ABM的面積；
（2）求線段AM的垂直平分線l的方程，并化為一般式；
（3）求圓C的方程；
（4）判別直線3x+4y+7=0與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線的一般式方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由題意可得，△ABM的面積為

1

2

|AB|•y_M，計(jì)算求得結(jié)果．
（2）求得線段AM的中點(diǎn)坐標(biāo)以及AM的斜率，可得AM的垂直平分線l的斜率，再利用點(diǎn)斜式求得線段AM的垂直平分線l的方程，再化為一般式．
（3）根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)可得圓心C在線段AB的中垂線x=1上，設(shè)圓心C（1，b），則由|CA|=|CM|求得b=1，可得圓心C的坐標(biāo)和半徑|CA|的值，從而求得圓的方程．
（4）求得圓心C（1，1）到直線3x+4y+7=0的距離大于半徑，可得直線和圓相離．

解答： 解：（1）△ABM的面積為

1

2

|AB|•y_M=

1

2

•4•3=6．
（2）由于線段AM的中點(diǎn)為（-

1

2

，

3

2

），且AM的斜率為

3-0

0+1

=3，故AM的垂直平分線l的斜率為-

1

3

，
故線段AM的垂直平分線l的方程為 y-

3

2

=-

1

3

（x+

1

2

），化為一般式為x+3y-4=0．
（3）根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)可得圓心C在線段AB的中垂線x=1上，設(shè)圓心C（1，b），
則由|CA|=|CM|可得2²+b²=1¹+（b-3）²，求得b=1，故圓心C（1，1）、半徑為|CA|=

5

，
故圓的方程為 （x-1）²+（y-1）²=5．
（4）由于圓心C（1，1）到直線3x+4y+7=0的距離為

|3+4+7|

5

=

14

5

＞

5

，
故直線和圓相離．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．