Question

20．極坐標方程ρcosθ-ρsinθ+1=0的直線與x軸的交點為P，與橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）交于A，B兩點，求|PA|•|PB|

Answer 1

分析 極坐標方程ρcosθ-ρsinθ+1=0的直線化為x-y+1=0，與x軸的交點為P（-1，0），其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．把直線參數(shù)方程代入橢圓方程可得t₁t₂．利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：極坐標方程ρcosθ-ρsinθ+1=0的直線化為x-y+1=0，與x軸的交點為P（-1，0），其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
把直線參數(shù)方程代入橢圓方程可得：$5{t}^{2}-2\sqrt{2}t-6=0$．
∴t₁t₂=-$\frac{6}{5}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．