Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（I） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求滿足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016的n的最小值．

Answer 1

分析 （I）∵S_n+n=2a_n（n∈N^*），當n=1時，a₁+1=2a₁，解得a₁．當n≥2時，S_n-1+n-1=2a_n-1，可得a_n+1=2（a_n-1+1）．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）•2ⁿ，利用等比數(shù)列的前n項和公式可得：T_n．代入不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016化簡即可得出．

解答 解：（I）∵S_n+n=2a_n（n∈N^*），∴當n=1時，a₁+1=2a₁，解得a₁=1．
當n≥2時，S_n-1+n-1=2a_n-1，相減可得：a_n+1=2a_n-2a_n-1，化為a_n=2a_n-1+1，變形為a_n+1=2（a_n-1+1）．
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴${a_n}={2^n}-1$．
（II）b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=3×2+5×2²+×2³+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=3×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n+1}-1）}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴滿足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016化為：2ⁿ⁺¹＞2016，
解得n≥10．
∴滿足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016的n的最小值為10．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系的應用、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．