Question

6．z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$，$\overlinez$是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)$\frac{1+ai}{2-i}$為純虛數(shù)（a為實(shí)數(shù)），z₁的實(shí)部為a，虛部為z的模，z及z₁在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，
（1）求向量$\overrightarrow{AB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（2）復(fù)數(shù)w滿足|W-Z|=4，求|W|的最值．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡z，求其模，再由復(fù)數(shù)$\frac{1+ai}{2-i}$為純虛數(shù)求得a，則z及z₁在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可求，向量$\overrightarrow{AB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求；
（2）利用數(shù)形結(jié)合畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可得|W|的最值．

解答 解：（1）由z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$=$\frac{1+i-4i+4+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}=\frac{（7+i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}=\frac{25-25i}{25}$=1-i，
得|z|=$\sqrt{2}$，
由$\frac{1+ai}{2-i}$=$\frac{（1+ai）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2-a+（1+2a）i}{5}$為純虛數(shù)，得a=2，
∴${z}_{1}=2+\sqrt{2}i$，
則A=（1，-1），B=（2，$\sqrt{2}$），
∴向量$\overrightarrow{AB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+（1+$\sqrt{2}$）i；
（2）∵z=1-i，又復(fù)數(shù)w滿足|W-Z|=4，
∴復(fù)數(shù)w對應(yīng)的點(diǎn)在以（1，-1）為圓心，在以4為半徑的圓上，
如圖，

則|W|的最大值為4+$\sqrt{2}$，最小值為4-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．