Question

1．已知圓C₁的方程為（x-2）²+（y-1）²=$\frac{20}{3}$，橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），C₂的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，則直線AB的方程x+y-3=0．

Answer 1

分析 由橢圓C₂的離心率得b²=c²，設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得圓心C₁（2，1）為AB中點，再由A，B均在橢圓C₂上，代入后利用點差法求得A，B所在直線的斜率，則有直線方程的點斜式求得直線AB的方程．

解答 解：由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，b²=c²，
設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得圓心C₁（2，1）為AB中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A，B均在橢圓C₂上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2{c}^{2}}=-\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{c}^{2}}$，
即$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2{c}^{2}}=-\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{c}^{2}}$，
∴k_AB=-1，
即直線AB的方程為y-1=-（x-2），
即x+y-3=0．
故答案為：x+y-3=0．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，考查了點差法求與中點弦有關(guān)的問題，是中檔題．