Question

13．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1上任意一點，AB為⊙T：（x+1）²+y²=1的任意一條直徑，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[3，15]．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{TA}$-$\overrightarrow{TP}$）•（$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$）=$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$•（$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$）+$\overrightarrow{TP}$²=-|TA|•|TB|•cosπ-0+|TP|²=-1+|TP|²．再結合|TP|的范圍即可求出結論．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{TA}$-$\overrightarrow{TP}$）•（$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$）
=$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$•（$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$）+$\overrightarrow{TP}$²=-|TA|•|TB|•cosπ-0+|TP|²
=-1+|TP|²．
∵T為橢圓的左焦點
∴|TP|∈[a-c，a+c]=[2，4]
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$∈[3，15]．
故答案為：[3，15]．

點評 本題主要考查橢圓的基本性質．解決本題的關鍵在于知道T為橢圓的右焦點并且會把所求問題轉化．