Question

5．已知拋物線x²=2py（p＞0），過其焦點$F（0，\frac{p}{2}）$的直線l與拋物線相交于A，B兩點，設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求證：
（1）x₁•x₂=-p²
（2）y₁•y₂=$\frac{p^2}{4}$．

Answer 1

分析 （1）設過其焦點$F（0，\frac{p}{2}）$的直線l的方程為y=kx+$\frac{p}{2}$，代入拋物線x²=2py，運用韋達定理，即可得證；
（2）由A，B在拋物線x²=2py上，代入方程，兩式相乘即可得證．

解答 證明：（1）設過其焦點$F（0，\frac{p}{2}）$的直線l的方程為y=kx+$\frac{p}{2}$，
代入拋物線x²=2py，可得
x²-2pkx-p²=0，
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁x₂=-p2；
（2）由A，B在拋物線x²=2py上，可得
y₁=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，y₂=$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$，
即有y₁y₂=$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．

點評 本題考查拋物線的方程的運用，注意聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去一個變量，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．