15．設(shè)0≤x≤1，證明：a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2．

分析 直接將兩式相減：a2x+b2（1-x）-[ax+b（1-x）]2=x（1-x）（a-b）2，再根據(jù)題中條件下結(jié)論即可．

解答 證明：左邊-右邊
=a2x+b2（1-x）-[ax+b（1-x）]2
=a2x+b2（1-x）-[a2x2+2abx（1-x）+b2（1-x）2]
=（x-x2）a2+（x-x2）b2-2abx（1-x）
=x（1-x）[a2-2ab+b2]
=x（1-x）（a-b）2
∵0≤x≤1，∴x（1-x）≥0，
因此，x（1-x）（a-b）2≥0，
所以，a2x+b2（1-x）-[ax+b（1-x）]2≥0，
故a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式的證明，運(yùn)用了作差比較法，涉及提取公因式配方等運(yùn)算技巧，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）求與橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{4}$=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線的方程；
（2）過(guò)P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（-$\frac{16}{3}$，5）兩點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

6．若直線m：y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的左支交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（-1，0），且過(guò)弦AB的中點(diǎn)M，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

3．已知雙曲線2x2-y2=2上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，且MN的中點(diǎn)在直線y=2x+4上，則實(shí)數(shù)m的值為$\frac{16}{5}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸，離心率e=$\frac{1}{2}$，短軸長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，直線y=x+m與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（1）求橢圓的方程； 
（2）求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

20．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$a=\sqrt{3}，sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，C=\frac{π}{6}$，則b=$\frac{3}{2}$或3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

7．已知雙曲線的離心率為2，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線上，若|F1A|=2|F2A|，∠AF2F1的正切值為$\sqrt{15}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．將函數(shù)$f（x）=sin（{x+\frac{π}{6}}）$的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，所得函數(shù)g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（　�。�
A．$（{-\frac{π}{12}，0}）$B．$（{\frac{5π}{12}，0}）$C．$（{-\frac{π}{3}，0}）$D．$（{\frac{2π}{3}，0}）$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．已知拋物線x2=2py（p＞0），過(guò)其焦點(diǎn)$F（0，\frac{p}{2}）$的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2）．求證：
（1）x1•x2=-p2
（2）y1•y2=$\frac{p^2}{4}$．

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