Question

19．已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊，且c=2，C=$\frac{π}{3}$，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，則A=$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 在已知等式中用sin（A+B）替換sinC，展開(kāi)兩角和的正弦，得到（sinB-2sinA）cosA=0，進(jìn)一步得到A=$\frac{π}{2}$或sinB=2sinA，當(dāng)sinB=2sinA時(shí)，由正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理求得a，b的值，得到b²=a²+c²．由此可知B=$\frac{π}{2}$，則答案可求．

解答 解：在△ABC中，由sinC+sin（B-A）=2sin2A，
得sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，
即sinAcosB+cosAsinB+cosAsinB-sinAcosB=2sin2A．
∴sinBcosA=sin2A=2sinAcosA．
即（sinB-2sinA）cosA=0，
則cosA=0或sinB=2sinA．
當(dāng)cosA=0時(shí)，A=$\frac{π}{2}$；
當(dāng)sinB=2sinA時(shí)，得b=2a，①
又c²=a²+b²-2ab•cosC，得a²+b²-ab=4，②
聯(lián)立①②得$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}，b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴b²=a²+c²．
∴B=$\frac{π}{2}$．
又C=$\frac{π}{3}$，得A=$\frac{π}{6}$．
綜上，A=$\frac{π}{2}$或A=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的正弦，考查了余弦定理和正弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查，是中檔題．