Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的正整數(shù)k，均有a_k=

lim

n→∞

（S_n-S_k）成立，則公比q=

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導出a₂=a₁

lim

n→∞

q2-qn

1-q

，從而得到q-q²=q²，由此能求出公比q=

1

2

．

解答： 解：等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
對于任意的正整數(shù)k，均有a_k=

lim

n→∞

（S_n-S_k）成立，
∴a_n=a₁q^n-1，
S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
a_k=

lim

n→∞

（S_n-S_k）
=

lim

n→∞

a1(qk-qn)

1-q

，
當k=2時，
a₂=

lim

n→∞

a1(q2-qn)

1-q

=a₁

lim

n→∞

q2-qn

1-q

，
∴a1q=a1

lim

n→∞

q2-qn

1-q

，∴q-q2=

lim

n→∞

(q2-qn)，
∴q-q²=q²，
q（2q-1）=0
解得q=

1

2

，或q=0（舍）．
∴公比q=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查等比數(shù)列的公比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的合理運用．