Question

3．已知函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m-1+2e}{x}$-lnx，m∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g（x）=$\frac{1}{xcosθ}$+lnx在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）當(dāng)m=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若當(dāng)x∈[1，e]時，至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=0時，求出f（x）、f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到單調(diào)區(qū)間，由極值定義可得極值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，分m≤0，m＞0兩種情況進(jìn)行討論，由題意知，只要在[1，e]上F（x） _max＞0即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
當(dāng)m=0時，f（x）=$\frac{1-2e}{x}$-lnx，f′（x）=$\frac{（2e-1）-x}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜2e-1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2e-1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）的增區(qū)間是（0，2e-1），減區(qū)間是（2e-1，+∞），當(dāng)x=2e-1時，f（x）取得極大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，
①當(dāng)m≤0時，x∈[1，e]，mx-$\frac{m}{x}$≤0，-2lnx-$\frac{2e}{x}$＜0，
∴在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②當(dāng)m＞0時，F(xiàn)′（x）=m+$\frac{m+2e}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{m{x}^{2}-2x+m+2e}{{x}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x） _max=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-4，
只要me-$\frac{m}{e}$-4＞0，解得m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
故m的取值范圍是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．