Question

11．已知曲線f（x）=x³-3x及曲線y=f（x）上一點(diǎn)P（1，-2）．
（I） 求曲線y=f（x）在P點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）過P點(diǎn)的切線方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得斜率函數(shù)為f′（x）=3x²-3，進(jìn)而求出所過點(diǎn)切線的斜率，代入點(diǎn)斜式公式即可．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求曲線過點(diǎn)P處的切線方程．

解答 解：（1）∵y=f（x）=x³-3x，
∴y′=f′（x）=3x²-3．
則在P（1，-2）處直線的斜率k₁=f′（1）=0，
∴所求直線的方程為y=-2．
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，x₀³-3x₀），
則直線l的斜率k₂=f′（x₀）=3x₀²-3，
∴-2-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（1-x₀），
∴x₀³-3x₀+2=（3x₀²-3）（x₀-1），
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$．
x₀=1，所求直線的方程為y=-2
x₀=-$\frac{1}{2}$，所求直線斜率k=3x₀²-3=-$\frac{9}{4}$，
于是所求直線的方程為y-（-2）=-$\frac{9}{4}$（x-1），即y=-$\frac{9}{4}$x+$\frac{1}{4}$．
綜上所述，所求直線的方程為y=-2或y=-$\frac{9}{4}$x+$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)切線方程的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率和方程是解決本題的關(guān)鍵．注意區(qū)分在點(diǎn)P處與過點(diǎn)P處的切線方程．