【題目】如圖,直線與圓 且與橢圓相交于兩點(diǎn).

(1)若直線恰好經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn),求弦長

(2)設(shè)直線的斜率分別為,判斷是否為定值,并說明理由

(3)求,面積的最小值.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】試題分析(1)由題意設(shè)直線由直線與圓相切可得,可得,故分兩種情況可求得。(2)。┊(dāng)直線的斜率不存在時,得;(ⅱ)當(dāng)的斜率存在時,設(shè)直線 將其代入圓的方程得,根據(jù)斜率公式及根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得。從而可得。(3)(當(dāng)斜率不存在或?yàn)?/span>時,可得當(dāng)的斜率存在且不為時,設(shè)直線,可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為

故可得 ,,則 ,故當(dāng) 有最小值,且 .

試題解析

1)由題意直線斜率存在,設(shè)直線

因?yàn)橹本與圓相切,

所以

解得

當(dāng)時,由解得,所以

當(dāng)時,同理

所以。

2)(。┊(dāng)直線的斜率不存在時,得

ⅱ)當(dāng)的斜率存在時,設(shè)直線

因?yàn)橹本與圓相切,

所以

整理得所以①,

消去y整理得,

由直線與圓相交得

設(shè)

,

所以③,

將①②代入③式得

綜上可得

3)由(2)知

法一:當(dāng)斜率不存在或?yàn)?/span>時,可得,

ⅱ)當(dāng)的斜率存在且不為時,設(shè)直線,

,解得

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為

同理點(diǎn)B的坐標(biāo)為

所以

,

所以,

故當(dāng) 有最小值,且 .

綜上可得面積的最小值為

法二:記直線與圓的切點(diǎn)為

設(shè)

所以,

所以當(dāng)時, .

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