Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{{x^2}+4}+\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$，則函數(shù)y=f（x）的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先換元t=$\sqrt{x^2+4}$∈[2，+∞），原函數(shù)可化為g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t∈[2，+∞），再根據(jù)雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出f（x）的最小值．

解答 解：令t=$\sqrt{x^2+4}$∈[2，+∞），
則$f（x）=\sqrt{{x^2}+4}+\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$=t+$\frac{1}{t}$，
記g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t∈[2，+∞），
根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)，g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)t∈[2，+∞）時(shí)，g（t）單調(diào)遞增，
因此，g（t）_min=g（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，涉及雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．