Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$，判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，并且求出值域．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，即可判斷，從而求出值域．

解答 解：函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），…（2分）
因?yàn)?f（-x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{{{2^{-x}}-{2^x}}}=-f（x）$，所以函數(shù)是奇函數(shù)．  …（4分）
$f（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}=1+\frac{2}{{{2^{2x}}-1}}$，
設(shè)x₁＜x₂，則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{{2（{2^{2{x_1}}}-{2^{2{x_2}}}）}}{{（{2^{2{x_1}}}-1）（{2^{2{x_2}}}-1）}}$
當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，$1＜{2^{2{x_1}}}＜{2^{2{x_2}}}$，所以f（x₂）＜f（x₁），
所以在（0，+∞）上是減函數(shù)；…（8分）
當(dāng)x₁＜x₂＜0時(shí)，${2^{2{x_1}}}＜{2^{2{x_2}}}＜1$，所以f（x₂）＜f（x₁），
所以在（-∞，0）上也是減函數(shù)．
由$y=1+\frac{2}{{{2^{2x}}-1}}$，${2^x}=\frac{y+1}{y-1}$，所以y＞1或y＜-1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．