Question

9．如圖，在四面體S-ABC中，SA、SB、SC兩兩垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，求：
（1）BC與平面SAB所成的角；
（2）SC與平面ABC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出SC⊥平面SAB，∠SBC為BC與平面SAB所成的角，由此能求出BC與平面SAB所成的角．
（2）取AB中點(diǎn)M，連結(jié)MC，過點(diǎn)S作SO⊥MC于點(diǎn)O，則∠SCM為SC與平面ABC所成的角．由此能求出SC與平面ABC所成的角的余弦值．

解答 解：（1）∵CS⊥SB，CS⊥SA，
∴SC⊥平面SAB，
∴BC在平面SAB上的射影為SB．
∴∠SBC為BC與平面SAB所成的角．
又∠SBC=60°，
故BC與平面SAB所成的角為60°．
（2）取AB中點(diǎn)M，連結(jié)MC，在Rt△ASB中，∠SBA=45°，
∴SM⊥AB．
又AB⊥SC，∴AB⊥面SMC．
∴面SMC⊥面ABC．
過點(diǎn)S作SO⊥MC于點(diǎn)O，
∴SO⊥面ABC，
∴∠SCM為SC與平面ABC所成的角．
設(shè)SB=a，則SM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在△SBC中，SC=SBtan 60°=$\sqrt{3}$a，BC=2a，
∵SA、SB、SC兩兩垂直，∴SC⊥平面ABS，∴SC⊥SM，
∴tan∠SCM=$\frac{SM}{SC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴cos∠SCM=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∴SC與平面ABC所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．